西電團(tuán)隊基于北太天元平臺研發(fā)面向材料計算的偏微分方程數(shù)值仿真工具箱

導(dǎo)語

2025年12月，西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2025級大創(chuàng)團(tuán)隊（指導(dǎo)教師：董灝教授；學(xué)生成員：金祥宇、蔡奕濤、令狐嘉樂）依托北太天元平臺，完成面向材料計算的偏微分方程數(shù)值仿真工具箱研發(fā)，相關(guān)成果已進(jìn)入實際應(yīng)用準(zhǔn)備階段。

工具箱介紹

該工具箱用于解決具有快速振蕩系數(shù)的多尺度偏微分方程的數(shù)值求解。它內(nèi)置高階多尺度方法和直接精細(xì)數(shù)值模擬兩種多尺度建模與數(shù)值求解方法，專為模擬復(fù)合材料、多孔介質(zhì)等非均勻材料中的復(fù)雜物理場（如瞬態(tài)熱傳導(dǎo)與波傳播）而設(shè)計。

高階多尺度方法

復(fù)合材料等結(jié)構(gòu)在微觀尺度上具有復(fù)雜的異質(zhì)性。若采用直接精細(xì)數(shù)值模擬，必將使用極精細(xì)的網(wǎng)格捕捉微尺度行為，會導(dǎo)致計算資源需求巨大、時間成本高昂。

該工具箱基于高階多尺度方法，其核心思想是將復(fù)合材料的復(fù)雜響應(yīng)分解為“等效均質(zhì)材料”的宏觀響應(yīng)與“代表性單胞”的微觀修正。具體而言，在宏觀均勻化解的基礎(chǔ)上疊加一階修正項和二階修正項，連接了微觀結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)與宏觀材料性能。高階多尺度方法將方程的局部平衡殘差降至O(epsilon)，從而能夠高效、精確地重構(gòu)材料內(nèi)部的微觀尺度振蕩信息。這種“解耦”策略，使得宏觀問題可在粗網(wǎng)格上求解，微觀問題僅在單個或幾個代表性單元上求解，從而極大節(jié)省計算單元、內(nèi)存和CPU時間，并顯著提高了數(shù)值穩(wěn)定性。

主要功能

• 多種方程求解支持：使用高階多尺度方法求解多種多尺度偏微分方程，包括二維多尺度橢圓型偏微分方程，二維多尺度拋物型偏微分方程和二維多尺度雙曲型偏微分方程。

• 高階多尺度求解器：核心功能基于高階多尺度方法，求解二階多尺度解。

• 可視化與交互仿真：能夠生成三維數(shù)值解仿真圖像以及二維等值線圖。支持交互式分析，幫助用戶快速驗證設(shè)計方案。

• 經(jīng)典偏微分方程的數(shù)值模擬：除多尺度問題外，工具箱同樣對經(jīng)典偏微分方程的數(shù)值求解提供支持。

  
  

示例計算結(jié)果

多尺度橢圓型偏微分方程

多尺度橢圓型偏微分方程的方程式為：

示例的計算區(qū)域為：

采用齊次Dirichlet邊界條件，夾雜相材料參數(shù)c為1，基體相材料參數(shù)c為100，源項；微觀尺度與宏觀尺度的比率為0.1，夾雜相材料的形狀為實際半徑為0.03的圓形。

圖1 多尺度橢圓型偏微分方程示例計算結(jié)果

多尺度拋物型偏微分方程

多尺度拋物型偏微分方程的方程式為：

示例的計算區(qū)域為：

終止時間為0.1，初始位置為0；采用齊次Dirichlet邊界條件，夾雜相材料參數(shù)c為1，d為1，基體相材料參數(shù)c為100，d為1，源項；微觀尺度與宏觀尺度的比率為0.1，夾雜相材料的形狀為實際半徑為0.04的圓形。

圖2 多尺度拋物型偏微分方程示例計算結(jié)果

多尺度雙曲型偏微分方程

多尺度雙曲型偏微分方程的方程式為：

示例的計算區(qū)域為：

終止時間為0.1，初始位置為0，初始速度為0；采用齊次Dirichlet邊界條件，夾雜相材料參數(shù)c為1，d為1，基體相材料參數(shù)c為100，d為1，源項；微觀尺度與宏觀尺度的比率為0.1，夾雜相材料的形狀為實際半徑為0.04的圓形。

圖3 多尺度雙曲型偏微分方程示例計算結(jié)果

工具箱使用指南

開發(fā)團(tuán)隊為工具箱的主要功能和典型應(yīng)用場景編寫了詳細(xì)的教程。強(qiáng)烈建議您從《工具箱使用示例》開始深入學(xué)習(xí)。

《函數(shù)幫助文檔》包含了工具箱中每一個函數(shù)的詳細(xì)語法、輸入/輸出參數(shù)和使用說明。當(dāng)您需要查詢特定函數(shù)用法時，請參考此文檔。

• 項目發(fā)布地址：https://baltamatica.com/community/sposts/detail/ebdef3b9-820c-79e7-965e-4c212c1e388c.html

工具箱意義

本工具箱聚焦材料計算領(lǐng)域，以全自主研發(fā)為核心支撐，集成高階多尺度方法與直接精細(xì)數(shù)值模擬兩大核心技術(shù)，既豐富了北太天元在材料計算領(lǐng)域的功能，更進(jìn)一步完善其專業(yè)生態(tài)布局，為國產(chǎn)自主可控科學(xué)計算平臺的持續(xù)發(fā)展與壯大注入動力。

北太天元后續(xù)將持續(xù)推動與高校、科研機(jī)構(gòu)的技術(shù)合作，支持科學(xué)計算領(lǐng)域工具研發(fā)與應(yīng)用創(chuàng)新。用戶在工具箱使用過程中若有疑問或建議，可在北太天元官方開發(fā)者社區(qū)頁面留言交流。

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