以下內容為盧朓老師在B站進行的分享，可以作為學習參考：

多項式長除法與偽除法：算法解析與區(qū)別

在多項式運算中，長除法與偽除法是兩種常用的方法，用于求解多項式除法問題。盡管它們的目的相似，即找到一個商多項式和余數多項式，使得被除多項式可以表示為除多項式與商多項式的乘積加上余數多項式的形式，但它們在算法實現和結果解釋上存在一些關鍵差異。

一、多項式長除法

多項式長除法是一種直接且直觀的方法，類似于整數長除法。它逐步將除多項式的最高次項與被除多項式的相應項對齊，然后逐項相減，直到得到余數多項式為止。

算法步驟：

1. 將被除多項式和除多項式按降冪排列。

2. 初始化商多項式和余數多項式。

3. 從被除多項式的最高次項開始，逐項進行除法運算，計算當前的商，并更新余數多項式。

4. 重復上述步驟，直到余數多項式的次數低于除多項式的次數。

特點：

• 長除法得到的商多項式和余數多項式是唯一確定的。

• 余數多項式的次數一定低于除多項式的次數。

• 長除法適用于任何次數的多項式除法問題。

二、多項式偽除法

多項式偽除法是一種特殊的多項式除法方法，它引入了一個乘數m，使得被除多項式乘以m后可以更容易地進行除法運算。乘數m是除多項式最高次項系數的某個冪次，這個冪次與被除多項式和除多項式的次數差有關。

算法步驟：

1. 計算乘數m。

2. 將被除多項式乘以m，得到新的被除多項式。

3. 初始化偽商多項式和偽余數多項式。

4. 從新的被除多項式的最高次項開始，逐項進行除法運算，計算當前的商，并更新偽余數多項式。

5. 重復上述步驟，直到偽余數多項式的次數低于除多項式的次數。

特點：

• 偽除法得到的偽商多項式和偽余數多項式不是唯一確定的，因為它們依賴于乘數m的選擇。

• 偽余數多項式的次數也一定低于除多項式的次數。

• 偽除法在某些特定情況下（如求解多項式的最大公因式或進行多項式因式分解時）可能更為方便或有效。

三、長除法與偽除法的區(qū)別

1. 乘數m的引入：長除法不需要引入乘數m，而偽除法則需要根據除多項式的最高次項系數和次數差來計算乘數m。

2. 結果唯一性：長除法得到的商多項式和余數多項式是唯一確定的，而偽除法得到的偽商多項式和偽余數多項式則不是唯一確定的，因為它們依賴于乘數m的選擇。

3. 應用場景：長除法適用于任何次數的多項式除法問題，而偽除法在某些特定情況下可能更為方便或有效，如求解多項式的最大公因式或進行多項式因式分解時。

4. 算法復雜度：從算法復雜度的角度來看，長除法和偽除法的計算量大致相當，都需要進行多次的乘法和減法運算。然而，由于偽除法需要計算乘數m并乘以被除多項式，因此在某些情況下可能會引入額外的計算量。

綜上所述，多項式長除法和偽除法是兩種不同的多項式除法方法，它們各有特點和應用場景。在實際應用中，我們可以根據具體問題的需求選擇合適的方法來進行多項式除法運算。

北太天元代碼: 

% 示例使用
 P = [1 0 2]; % 被除多項式 x^2 + 0*x +2 
 Q = [2 sqrt(2)];       % 除多項式 
 2x+sqrt(2) [quotient, remainder] = longDivision(P, Q); 
 
 disp('Quotient:');
  disp(quotient); 
  disp('Remainder:'); 
 disp(remainder); 
 
 % Example usage: 
 P = [1 0 2]; % 被除多項式 x^2 + 0*x +2 
 Q = [2 sqrt(2)];       % 除多項式 2x+sqrt(2) 
 %pseudo division 會得到 2 (x^2 +3 ) = (2*x+1) 
 [m, quotientCoefficients, remainderCoefficient] = pseudoDivision(P, Q); 
 
 % Display the results disp('m:'); 
 disp(m); 
 disp('Quotient Coefficients:'); 
 disp(quotientCoefficients); 
 disp('Remainder Coefficient:'); 
 disp(remainderCoefficient);
 
function [quotient, remainder] = longDivision(P, Q)     
% 確保P和Q是行向量    
P = P(:)';     
Q = Q(:)';     
   
% 獲取多項式的度數     
degP = length(P) - 1;     
degQ = length(Q) - 1;    
   
% 初始化商多項式和余多項式     
quotient = zeros(1, degP - degQ + 1);     
remainder = P;    
    
% 實際上是一般多項式除法迭代過程    
for i = degP :-1: degQ         
% 計算當前的商，使用整個除多項式Q  %quotient的系數也要降冪排列         
% i-degQ 次 應該排 (degP-degQ+1)-(i-degQ) =         quotient(degP - i + 1) = remainder(1) / Q(1);         
      
% 更新余多項式         
for j = 1 : degQ+1            
remainder(j) = remainder(j) - quotient(degP - i + 1) * Q(j);         
end         
       
% 更新余數（不移除首項，因為可能不是0）        
remainder = remainder(2:end);    
 end    
         
% 如果余多項式為空，則設置為零向量     
 if isempty(remainder)         
remainder = zeros(1, 1);    
 end 
end 
           
%偽除法命令用于對多元多項式P和Q關于變量x進行偽除法運算。 
%它返回一個偽余數r，使得關系式mP=Qq+r成立，其中m是乘數，q是偽商。r和q都是關于x的多項式，且 
 % r關于x的次數小于Q關于x的次數。乘數m定義為Q關于x的最高次項項系數的（a關于x的次數減去b關于x的次數再加1）次冪，并且m與x無關。
           
function [m, q, r] = pseudoDivision(P, Q)     
% 檢查輸入     
if isempty(P) || isempty(Q)        
error('P和Q都不能為空');    
end     
              
 % 獲取P和Q的次數     
 degP = length(P) - 1;     
degQ = length(Q) - 1;     
              
% 檢查Q的次數是否大于0     
if degQ == 0        
error('除式Q的次數必須大于0');    
end     
                
% 計算乘數m     
m = Q(1) ^ (degP - degQ + 1);     
                
% 初始化偽商q和偽余數r     
q = zeros(1, degP - degQ + 1);     
r = zeros(1, degP + 1);     
r(1:degP + 1) = m*P;     
                
% 偽除法過程    
for k = degP:-1:degQ         
                 
% 計算當前步的商         
q(degP -k + 1) = r(1) / Q(1);         
                 
% 更新余數        
for j = 1:degQ+1             
r(j) = r(j) - q(degP -k + 1) * Q(j);         
end        
 r = r(2:end);     
 end     
                   
% 去除余數中前導的零項     
r = r(find(r, 1, 'first'):end);     
                   
% 如果r完全為零，則返回一個空數組    
 if all(r == 0)        
r = [];     
end 
end