“優(yōu)化”是生活中經常使用的詞：開車時希望能在安全的前提下以最短時間到達目的地；雙11做功課考慮各種優(yōu)惠活動，希望獲得最大優(yōu)惠；超市進貨時需要考慮動銷存，最大化提高物品周轉效率。 這些問題都是“最優(yōu)化問題”，也是數學建模中的典型問題，是各大數學建模比賽里的?？?。

      優(yōu)化題型有三要素：決策變量、目標函數、約束條件。

      （1）決策變量：是決策者可以控制的因素，例如根據不同的實際問題，決策變量可以選為產品的產量、物資的運量及工作的天數等。

      （2） 目標函數：是以函數形式來表示決策者追求的目標。例如目標可以是利潤最大或成本最小等。

      （3） 約束條件：是決策變量需要滿足的限定條件。

      歷年國賽優(yōu)化問題：

      優(yōu)化問題的出發(fā)點是系統(tǒng)思維，其基本思路是在一定的約束條件下，保證各方面資源的合理分配， 最大限度地提升系統(tǒng)某一性能或系統(tǒng)整體性能，最終實現最理想結果。對于這類問題，想要建立并求解數學模型，可以參考以下思路：

      （1）明確目標，分析問題背景，確定約束條件，搜集全面的客觀數據和信息。

      （2）建立數學模型，構建變量之間的數學關系，設立目標函數。

      （3）分析數學模型，綜合選擇最適合該模型的優(yōu)化方法。

      （4）求解模型，通常借助計算機和數學分析軟件完成。

      （5）對最優(yōu)解進行檢驗和實施。

      PS.北太天元內已有優(yōu)化工具箱optimization，可以調用工具箱解決優(yōu)化類問題。

      下面給大家分享幾種數學建模中常用優(yōu)化算法：

      1、線性規(guī)劃

      在人們的生產實踐中，經常會遇到如何利用現有資源來安排生產，以取得最大經濟效益的問題。此類問題構成了運籌學的一個重要分支—數學規(guī)劃，而線性規(guī)劃(Linear Programming 簡記 LP)則是數學規(guī)劃的一個重要分支。

      1.1 用北太天元求解線性規(guī)劃問題

      北太天元內已有優(yōu)化工具箱optimization，其中的linprog等相關函數可用于求解線性規(guī)劃問題。

      1.2 線性規(guī)劃特點

      優(yōu)點：

      （1）作為經營管理決策中的數學手段，在現代決策中的應用非常廣泛。

      （2）有統(tǒng)一算法，任何線性規(guī)劃問題都能求解，解決多變量最優(yōu)決策的方法。

      （3）訓練速度快。

      （4）預測速度快，可以推廣到非常大的數據集，對稀疏數據也很有效。

      缺點：

      （1）對于數據的準確性要求高，只能對線性的問題進行規(guī)劃約束，而且計算量大。

      1.3 相關問題

      運輸問題(產銷平衡)、指派問題（匈牙利算法）、對偶理論與靈敏度分析、投資的收益和風險。

      2、整數規(guī)劃

      規(guī)劃中的變量（部分或全部）限制為整數時，稱為整數規(guī)劃。若在線性規(guī)劃模型中，變量限制為整數，則稱為整數線性規(guī)劃。目前所流行的求解整數規(guī)劃的方法，往往只適用于整數線性規(guī)劃。目前還沒有一種方法能有效地求解一切整數規(guī)劃。

      2.1 用北太天元求解線性混合整數規(guī)劃問題

      可在北太天元內調用優(yōu)化工具箱optimization，使用intlinprog等相關函數求解線性混合整數規(guī)劃問題。

      2.2 整數規(guī)劃的分類

      如不加特殊說明，一般指整數線性規(guī)劃。對于整數線性規(guī)劃模型大致可分為兩類：

      （1）變量全限制為整數時，稱純（完全）整數規(guī)劃。

      （2）變量部分限制為整數的，稱混合整數規(guī)劃。

      2.3 整數規(guī)劃特點

      原線性規(guī)劃有最優(yōu)解，當自變量限制為整數后，其整數規(guī)劃解出現下述情況：

      （1）原線性規(guī)劃最優(yōu)解全是整數，則整數規(guī)劃最優(yōu)解與線性規(guī)劃最優(yōu)解一致。

      （2）整數規(guī)劃無可行解。

      （3）有可行解（當然就存在最優(yōu)解），但最優(yōu)解值變差。

      整數規(guī)劃最優(yōu)解不能按照實數最優(yōu)解簡單取整而獲得。

      2.4 求解方法分類

      （1）分枝定界法—可求純或混合整數線性規(guī)劃。

      （2）割平面法—可求純或混合整數線性規(guī)劃。

      （3）隱枚舉法—求解“0-1”整數規(guī)劃：過濾隱枚舉法；分枝隱枚舉法。

      （4）匈牙利法—解決指派問題（“0-1”規(guī)劃特殊情形）。

      （5）蒙特卡洛法—求解各種類型規(guī)劃。

      3、非線性規(guī)劃

      如果目標函數或約束條件中包含非線性函數，就稱這種規(guī)劃問題為非線性規(guī)劃問題。一般說來，解非線性規(guī)劃要比解線性規(guī)劃問題困難得多。而且，也不象線性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，非線性規(guī)劃目前還沒有適于各種問題的一般算法，各個方法都有自己特定的適用范圍。

      3.1 線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的區(qū)別

      如果線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，其最優(yōu)解只能在其可行域的邊界上達到（特別是可行域的頂點上達到）；而非線性規(guī)劃的最優(yōu)解（如果最優(yōu)解存在）則可能在其可行域的任意一點達到。

      3.2 相關問題

      無約束問題（一維搜索方法、二次插值法、無約束極值問題的解法）、約束極值問題（二次規(guī)劃、罰函數法）、飛行管理問題

      4、動態(tài)規(guī)劃

      動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運籌學的一個分支，是求解決策過程（decisionprocess）最優(yōu)化的數學方法。例如最短路線、庫存管理、資源分配、設備更新、排序、裝載等問題，用動態(tài)規(guī)劃方法比用其它方法求解更為方便。

      雖然動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時間無關的靜態(tài)規(guī)劃（如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃），只要人為地引進時間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。應指出，動態(tài)規(guī)劃是求解某類問題的一種方法，是考察問題的一種途徑，而不是一種特殊算法（如線性規(guī)劃是一種算法）。因而，它不象線性規(guī)劃那樣有一個標準的數學表達式和明確定義的一組規(guī)則，而必須對具體問題進行具體分析處理。因此，在學習時，除了要對基本概念和方法正確理解外，應以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。

      5、多目標規(guī)劃

      多目標規(guī)劃已經應用到科學的許多領域，包括工程、經濟和物流，在兩個或更多沖突的目標之間存在取舍時，需要采取最優(yōu)決策。

      解決多目標規(guī)劃問題的方法：

      （1）將多目標化為單目標 (給多個目標賦予權重)

      （2）保持多目標不變，根據自己的偏好選擇解

      實際問題中，目標函數相互沖突是很常見的，例如購買汽車時，要求花費少且舒適度高或者要求性能好油耗低，這種問題并沒有絕對最優(yōu)解（因為并沒有確定多個目標的權值），但是我們可以根據自己的需要選擇一個相對好的（達到我們想要的最佳平衡）。為了尋求這種“最佳平衡”，可以采用算法帕累托最優(yōu)（Pareto optimal）。

      以上部分內容引用公眾號“科研交流”，希望對大家有幫助，覺得有用就點個贊吧。小助手會不定期更新數學建模干貨，可以多多關注喲。