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Lévy 飛行是基于 Lévy 分布的隨機(jī)搜索過程. Lévy 飛行是一種隨機(jī)行走, 其中步長服從 Lévy 分布. 它通過模擬自然界中動(dòng)物在尋找食物或遷徙過程中, 采取的長距離跳躍和短距離滑行相結(jié)合的移動(dòng)模式. 其核心特點(diǎn)是步長的概率分布為重尾分布, 即存在相對(duì)較高的概率出現(xiàn)大跨步, 這使得動(dòng)物能夠在廣闊的范圍內(nèi)進(jìn)行搜索.

與傳統(tǒng)的隨機(jī)游走策略相比, Lévy 飛行策略具有以下優(yōu)勢(shì):

* 提高搜索效率: 通過長距離跳躍, Lévy 飛行策略能夠快速擴(kuò)大搜索范圍, 提高搜索效率;

* 跳出局部最優(yōu)解: Lévy 飛行策略在搜索過程中偶爾會(huì)出現(xiàn)大跨步, 有助于跳出局部最優(yōu)解, 尋找全局最優(yōu)解;

* 適應(yīng)性強(qiáng): Lévy 飛行策略適用于各種復(fù)雜環(huán)境, 能夠有效應(yīng)對(duì)路徑規(guī)劃中的不確定性.

因此, Lévy 飛行算法作為一種高效的優(yōu)化路徑規(guī)劃方法, 目前被廣泛應(yīng)用于智能優(yōu)化算法中, 如麻雀搜索算法、鯨魚優(yōu)化算法、粒子群優(yōu)化算法、蜣螂優(yōu)化算法等等.

Mantegna 算法

Mantegna 算法是 Mantegna 于 1994 年提出的用于模擬對(duì)稱 Lévy 穩(wěn)定過程. 根據(jù) Mantegna 算法, 可以通過生成兩個(gè)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)計(jì)算得到服從 Lévy 分布的數(shù)據(jù). 采用北太天元數(shù)值計(jì)算通用軟件來實(shí)現(xiàn)該算法的代碼如下:

function [s] = levyrnd(beta, m, n)
%LEVYRND - Mantegna 算法生成對(duì)稱 Lévy 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)組.
%
% 用法:
%   levyrng(beta);              - 生成單個(gè)服從參數(shù)為 beta 的 Lévy 分布數(shù)據(jù)；
%   levyrng(beta, m);           - 生成 m x m 維服從參數(shù)為 beta 的 Lévy 分布矩陣;
%   levyrng(beta, m, n);        - 生成 m x n 維服從參數(shù)為 beta 的 Lévy 分布矩陣.
%
% 示例:
% >> rng(1234);
% >> levyrnd(1.8)
% 0.5299
% >> levyrnd(0.5, 2)
%  0.7074   -0.0853
% -2.1705 -219.2879
% >> levyrnd(1.1, 2, 3)
% -0.6688    0.2140   -1.8900
% -3.4959    0.2340  -24.1111
%    
    narginchk(1, 3);
    if nargin == 1
        m = 1;
        n = 1;
    elseif nargin == 2
        n = m;    
    end
    % 計(jì)算 u ~ N(0, sigma^2) 的方差
    num = gamma(1 + beta) * sin(pi * beta / 2);
    den = gamma((1 + beta)/2) * beta * 2^((beta - 1)/2);
    sigma = (num / den)^(1/beta);
    % 生成隨機(jī)變量 u 和 v, v ~ N(0, 1).
    u = normrnd(0, sigma, m, n);
    v = normrnd(0, 1, m, n);
    % 生成 Lévy 分布數(shù)據(jù)
    s = u ./ abs(v).^(1/beta);
end

Lévy 飛行

利用 Mantegna 算法, 可以生成一系列的服從 Lévy 分布的隨機(jī)步長, 模擬 Lévy 飛行. 值得注意的是, 隨機(jī)游走是在任意維度空間中, 一個(gè)點(diǎn)隨機(jī)地向任意方向前進(jìn)任意長度的距離, 然后不斷的重復(fù).

我們模擬從原點(diǎn)出發(fā), 隨機(jī)向任意方向前進(jìn)步長為 $s$ 的 Lévy 飛行. 模擬過程如下:

clear;
clc;
% Lévy 分布參數(shù)
beta = 1.5;
% Lévy 飛行步數(shù)
n = 1000;
% 生成隨機(jī)方向
angles = 2 * pi * rand(n, 1);
% 初始化數(shù)據(jù)
x = zeros(n + 1, 1);
y = zeros(n + 1, 1);
% 生成 Lévy 步長
s = levyrnd(beta, n, 1);
% 循環(huán)游走
for i = 1:n
    x(i + 1) = x(i) + cos(angles(i)) * s(i);
    y(i + 1) = y(i) + sin(angles(i)) * s(i);
end
% 繪制 Lévy 飛行隨機(jī)游走
plot(x, y);
title("Levy 飛行策略");
xlabel("x");
ylabel("y");

得到的結(jié)果如圖所示: