8.1 原理 最初，RRT*-Smart 像 RRT* 一樣隨機(jī)搜索狀態(tài)空間。類似地，找到第一條路徑就像 RRT* 會(huì)嘗試通過配置空間中的隨機(jī)采樣來找到路徑一樣。一旦找到第一條路徑，它就會(huì)通過互連直接可見的節(jié)點(diǎn)來優(yōu)化它。此優(yōu)化路徑產(chǎn)生用于智能采樣的偏置點(diǎn)。在這些偏置點(diǎn)，采樣以規(guī)則的間隔進(jìn)行 隨著算法的進(jìn)展和路徑的不斷優(yōu)化，此過程將繼續(xù)進(jìn)行。每當(dāng)找到更短的路徑時(shí)，偏差就會(huì)轉(zhuǎn)向新路徑。 RRT*是一邊生長一邊優(yōu)化的，RRT*的重心在于找到最優(yōu)路徑。RRT*樹生長到能連接起點(diǎn)和終點(diǎn)后，這就已經(jīng)有一條初始路徑了。 這顆RRT*樹可以繼續(xù)生長，越生長可以得到的路徑相比初始路徑會(huì)越優(yōu)。然而，這個(gè)繼續(xù)生長的過程對(duì)于RRT*而言效率非常低，由此衍生出RRT*-smart算法，專門解決這一問題。 注意到，RRT*-smart是在RRT*算法已生成初始路徑后，在此基礎(chǔ)上，想對(duì)初始路徑繼續(xù)優(yōu)化的步驟才起作用，所以RRT*-smart對(duì)于生成初始路徑并沒有加速幫助。 RRT*-smart的優(yōu)勢(shì)在于：它專注于提升路徑接近障礙物拐點(diǎn)處的優(yōu)化速度。RRT*-smart算法的思路是這樣的：在原始RRT*算法的基礎(chǔ)上加了兩步：①路徑優(yōu)化路徑優(yōu)化的本質(zhì)是利用三角形兩邊之和大于第三邊 假設(shè)RRT*生成的初始路徑長這樣 具體操作如下： 一旦RRT*給出了一條初始路徑，將初始路徑中彼此可見的節(jié)點(diǎn)直接相連。迭代過程從xgoal開始，向xinit檢查與每個(gè)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)父節(jié)點(diǎn)的直接連接，直到無沖突條件失敗。下圖給出一個(gè)示例。 信標(biāo)（Z_beacons）：經(jīng)過路徑優(yōu)化后的路徑中除了起點(diǎn)和終點(diǎn)之外的節(jié)點(diǎn)，標(biāo)記為信標(biāo)（Z_beacons），如上圖中的綠點(diǎn)。②智能采樣在RRT*算法中，在生成初始路徑后，在此RRT*樹的基礎(chǔ)上繼續(xù)采點(diǎn)，采點(diǎn)越多，路徑優(yōu)化效果越好，但此采點(diǎn)，是完全隨機(jī)的采點(diǎn)，因此效率低下，RRT*-smart則不是完全隨機(jī)的采點(diǎn)。在RRT*-smart算法中，利用了這樣一種思想：智能采樣背后的想法是通過生成盡可能靠近障礙物頂點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)來接近最優(yōu)性。在基于采樣的RRT*-smart中，路徑僅沿著靠近障礙物拐點(diǎn)的外圍進(jìn)行優(yōu)化，解決的辦法就是：在障礙物拐點(diǎn)的外圍多多采點(diǎn)。如下圖所示： 問：那么RRT*-smart如何實(shí)現(xiàn)在障礙物拐點(diǎn)的外圍多多采點(diǎn)呢？答：利用①路徑優(yōu)化過程中給出的信標(biāo)（Z_beacons）。一旦找到初始路徑，智能采樣就會(huì)開始，在以Z beacons為中心的半徑為R beacons的球中直接生成一定數(shù)量的樣本。采樣偏向于這些信標(biāo)，因?yàn)樗鼈兲峁┝擞嘘P(guān)障礙物頂點(diǎn)（或圓形障礙物的外圍）位置的有用線索。因此，這些信標(biāo)需要被最大節(jié)點(diǎn)包圍，以優(yōu)化這些轉(zhuǎn)彎處的路徑。與 RRT* 相比，這一特征迫使所提出的算法以更少的迭代次數(shù)達(dá)到最優(yōu)解。注意：信標(biāo)（Z_beacons）是需要隨著優(yōu)化路徑的更新而更新的。即當(dāng)z_goal.cost變小時(shí)，說明路徑得到了優(yōu)化，那么就要啟用之前①路徑優(yōu)化算法來重新確定新的z_beacons。 8.2 偽碼 8.3 程序示例下圖中的線段代表由RRT*生成的初始RRT樹，圓圈代表在初始RRT樹基礎(chǔ)上，繼續(xù)采點(diǎn)的分布，可見在幾個(gè)“拐點(diǎn)處”的圓形領(lǐng)域內(nèi)我們有額外的采點(diǎn)以加強(qiáng)在這部分的采點(diǎn) 路徑優(yōu)化后確定出拐點(diǎn) 經(jīng)過路徑優(yōu)化后的路徑： 8.4 參考1、RRT*-SMART: A Rapid Convergence Implementation of RRT*2、Rapid convergence implementation of RRT* towards optimal solution
7.1 原理 RRT*是一種基于采樣的最優(yōu)化路徑規(guī)劃方式，與RRT的區(qū)別是，RRT盡量使新節(jié)點(diǎn)以及其周圍的節(jié)點(diǎn)到起點(diǎn)的cost(可以是路徑或者時(shí)間等目標(biāo)函數(shù))最短，而不是僅僅尋找離它近的節(jié)點(diǎn)，而且在找到路徑后不會(huì)停止，而是繼續(xù)進(jìn)行采樣來優(yōu)化得到的路徑。 盡管RRT算法是一個(gè)相對(duì)高效率，同時(shí)可以較好的處理帶有非完整約束的路徑規(guī)劃問題的算法，并且在很多方面有很大的優(yōu)勢(shì)，但是RRT算法并不能保證所得出的可行路徑是相對(duì)優(yōu)化的。因此許多關(guān)于RRT算法的改進(jìn)也致力于解決路徑優(yōu)化的問題，RRT*算法就是其中一個(gè)。RRT*算法的主要特征是能快速的找出初始路徑，之后隨著采樣點(diǎn)的增加，不斷地進(jìn)行優(yōu)化直到找到目標(biāo)點(diǎn)或者達(dá)到設(shè)定的最大循環(huán)次數(shù)。RRT*算法是漸進(jìn)優(yōu)化的，也就是隨著迭代次數(shù)的增加，得出的路徑是越來越優(yōu)化的，而且永遠(yuǎn)不可能在有限的時(shí)間中得出最優(yōu)的路徑。因此換句話說，要想得出相對(duì)滿意的優(yōu)化路徑，是需要一定的運(yùn)算時(shí)間的。所以RRT*算法的收斂時(shí)間是一個(gè)比較突出的研究問題。但不可否認(rèn)的是，RRT*算法計(jì)算出的路徑的代價(jià)相比RRT來說減小了不少。RRT*算法與RRT算法的區(qū)別主要在于兩個(gè)針對(duì)新節(jié)點(diǎn) xnew 的重計(jì)算過程，分別為：·重新為 xnew 選擇父節(jié)點(diǎn)的過程·重布線隨機(jī)樹的過程7.1.1 重新選擇父節(jié)點(diǎn)過程 在新產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn) xnew 附近以定義的半徑范圍內(nèi)尋找“近鄰”，作為替換 xnew 父節(jié)點(diǎn)的備選。依次計(jì)算“近鄰”節(jié)點(diǎn)到起點(diǎn)的路徑代價(jià)加上 xnew 到每個(gè)“近鄰”的路徑代價(jià)，具體過程見上圖。 圖(a)中表現(xiàn)的是隨機(jī)樹擴(kuò)展過程中的一個(gè)時(shí)刻，節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)表示產(chǎn)生該節(jié)點(diǎn)的順序，0節(jié)點(diǎn)是初始節(jié)點(diǎn)，9節(jié)點(diǎn)是新產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn) xnew，6節(jié)點(diǎn)是產(chǎn)生9節(jié)點(diǎn)的 xnear，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間連接的邊上數(shù)字代表兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的歐氏距離(這里我們用歐氏距離來表示路徑代價(jià))。 在重新找父節(jié)點(diǎn)的過程中，以9節(jié)點(diǎn) xnew 為圓心，以事先規(guī)定好的半徑，找到在這個(gè)圓的范圍內(nèi) xnew 的近鄰，也就是4，5，8節(jié)點(diǎn)。 原來的路徑0 - 4 - 6 - 9代價(jià)為10 + 5 + 1 = 16，備選的三個(gè)節(jié)點(diǎn)與 xnew 組成的路徑0 - 1 - 5 - 9，0 - 4 - 9和0 - 1 - 5 - 8 - 9代價(jià)分別為3 + 5 + 3 = 11，10 + 4 = 14和3 + 5 + 1 + 3 = 12，因此如果5節(jié)點(diǎn)作為9節(jié)點(diǎn)的新父節(jié)點(diǎn)，則路徑代價(jià)相對(duì)是最小的，因此我們把9節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)由原來的節(jié)點(diǎn)4變?yōu)楣?jié)點(diǎn)5，則重新生成的隨機(jī)樹如圖(b)所示。7.1.2 重布線隨機(jī)樹過程 在為xnew 重新選擇父節(jié)點(diǎn)之后，為進(jìn)一步使得隨機(jī)樹節(jié)點(diǎn)間連接的代價(jià)盡量小，為隨機(jī)樹進(jìn)行重新布線。過程示意如上圖重布線的過程也可以被表述成：如果近鄰節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)改為 xnew 可以減小路徑代價(jià)，則進(jìn)行更改。 如圖(c)，9節(jié)點(diǎn)為新生成的節(jié)點(diǎn) xnew ，近鄰節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)4 , 6 , 8 。它們父節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)0 , 4 , 5。路徑分別為0 - 4，0 - 4 - 6，0 - 1 - 5 - 8，代價(jià)分別為10，10 + 5 = 15 和3 + 5 + 1 = 9。 如果將4節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)改為9節(jié)點(diǎn) xnew ，則到達(dá)節(jié)點(diǎn)4的路徑變?yōu)? - 1 - 5 - 9 - 4，代價(jià)為3 + 5 + 3 + 4 = 15 大于原來的路徑代價(jià)10，因此不改變4節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。 同理，改變了8節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)，路徑代價(jià)將由原來的9變?yōu)?4，也不改變8節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。如果改變6節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)為 xnew 則路徑變?yōu)? - 1 - 5 - 9 - 6，代價(jià)為3 + 5 + 3 + 1 = 12小于原來的路徑代價(jià)15，因此將6的父節(jié)點(diǎn)改為節(jié)點(diǎn)9，生成的新隨機(jī)樹如圖(d)。 重布線過程的意義在于每當(dāng)生成了新的節(jié)點(diǎn)后，是否可以通過重新布線，使得某些節(jié)點(diǎn)的路徑代價(jià)減少。如果以整體的眼光看，并不是每一個(gè)重新布線的節(jié)點(diǎn)都會(huì)出現(xiàn)在最終生成的路徑中，但在生成隨機(jī)樹的過程中，每一次的重布線都盡可能的為最終路徑代價(jià)減小創(chuàng)造機(jī)會(huì)。 RRT*算法的核心在于上述的兩個(gè)過程：重新選擇父節(jié)點(diǎn)和重布線。這兩個(gè)過程相輔相成，重新選擇父節(jié)點(diǎn)使新生成的節(jié)點(diǎn)路徑代價(jià)盡可能小，重布線使得生成新節(jié)點(diǎn)后的隨機(jī)樹減少冗余通路，減小路徑代價(jià)。7.2 偽碼7.3 程序示例7.4 參考1、Sampling-based Algorithms for Optimal Motion Planning2、https://blog.csdn.net/weixin_43795921/article/details/88557317#t03、https://zhuanlan.zhihu.com/p/51087819
6.1原理 Dynamic RRT和Extended RRT一樣，也是用來解決動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃問題，它們的思想有一點(diǎn)是共通的，那就是不要完全放棄初始RRT生成的樹或初始路徑的信息，而是在此基礎(chǔ)上重新規(guī)劃。Dynamic RRT和Extended RRT的區(qū)別在于，Extended RRT利用的是RRT生成的初始路徑的信息，而Dynamic RRT利用的是RRT生成的初始RRT樹的信息。思路如下： 在老地圖中，用RRT算法生成了一個(gè)RRT樹，在新地圖中，原始RRT樹的節(jié)點(diǎn)信息（坐標(biāo)、父節(jié)點(diǎn)）存儲(chǔ)在一個(gè)節(jié)點(diǎn)集合中。在新地圖中，先檢測(cè)新地圖中比老地圖多出的障礙物，然后，以碰撞檢測(cè)為評(píng)判根據(jù)，刪除老節(jié)點(diǎn)集合中與新障礙物無法通過碰撞檢測(cè)的節(jié)點(diǎn)和邊。的到一顆修建過后的與新地形無碰撞的修剪后RRT樹，然后再在這顆修剪后的額RRT樹的基礎(chǔ)上，繼續(xù)生長這棵樹，直到這棵樹連接起點(diǎn)和終點(diǎn)，然后回溯路徑，得出新路徑。①從從初始配置到目標(biāo)配置生成的 RRT 開始（圖（a））。 ②當(dāng)配置空間發(fā)生變化時(shí)（例如通過接收新信息），將RRT中因這些變化而失效的所有部分標(biāo)記為無效（圖（b）和（c））。 ③然后我們修剪樹以去除所有這些無效部分（圖（d））。 ④此時(shí)，保證樹中剩余的所有節(jié)點(diǎn)和邊都是有效的，但樹可能不再達(dá)到目標(biāo)。最后，我們把樹長出來，直到再次達(dá)到目標(biāo)6.2 偽碼6.3 程序示例加入新的障礙物后，被該障礙物折斷的剩余的圖：在原來的樹的基礎(chǔ)上，繼續(xù)生長后的圖：6.4 參考Replanning with RRTs
5.1 原理 在現(xiàn)實(shí)世界的場(chǎng)景中，通常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況:有關(guān)環(huán)境的初始可用信息是不完整的，或者環(huán)境本身是動(dòng)態(tài)的。在這些情況下，當(dāng)接收到新信息時(shí)，初始解決方案可能會(huì)失效，例如通過機(jī)載傳感器。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，通常會(huì)放棄當(dāng)前的 RRT，并從零開始生長新的 RRT。這可能是一項(xiàng)非常耗時(shí)的操作，尤其是在規(guī)劃問題很復(fù)雜的情況下。另一方面，在確定性規(guī)劃界存在重規(guī)劃算法，當(dāng)這種變化發(fā)生時(shí)，它們能夠有效地修復(fù)之前的解決方案，而不需要從頭重新規(guī)劃。這就是通過連續(xù)域規(guī)劃路徑的問題，如果每次更新地圖，都用RRT重新規(guī)劃，效率相當(dāng)?shù)拖?。Extended_RRT則專門用于解決這種動(dòng)態(tài)路徑規(guī)劃問題。 Extended_RRT的思路是這樣的：在老地圖中，由RRT算法得出的路徑，在障礙物動(dòng)態(tài)變化不太大的前提下，在新地圖中，大概率也是能通過的，就算障礙物變化很大，之前的路徑也或多或少包含了當(dāng)前障礙物區(qū)域的信息，所以，在新障礙物區(qū)域中，在重新規(guī)劃路徑時(shí)，原有的初始RRT路徑的信息可以利用上，而沒有必要完完全全重零開始用RRT來規(guī)劃。 那么如何利用上初始RRT路徑的信息呢？思路如下： 在老地圖上先用RRT算法的處一條初始路徑，將這條初始路徑上的節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)在集合waypoints中，當(dāng)環(huán)境更新后，希望在新地圖上得出一條路徑，在隨機(jī)撒點(diǎn)的步驟，新的隨機(jī)點(diǎn)有概率p落在目標(biāo)節(jié)點(diǎn)處，此外，還有r的概率落在waypoints的節(jié)點(diǎn)中，剩余1-p-r的概率在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)隨即撒點(diǎn)。這樣在重規(guī)劃時(shí)，就可以把初始路徑的信息利用進(jìn)來。完成隨機(jī)點(diǎn)選取后，剩余的碰撞檢測(cè)、樹的生長、路徑回溯步驟與RRT一致?？偨Y(jié)：Extended_RRT適用于需要反復(fù)路徑重規(guī)劃的場(chǎng)景中，效率比直接重新進(jìn)行RRT要高得多，和RRT的主要區(qū)別在于，在選取新的隨機(jī)點(diǎn)時(shí)，利用上了初始路徑的信息，而不是完全隨機(jī)撒點(diǎn)。5.2偽碼5.3 程序示例5.4 參考1、Real-Time Randomized Path Planning for Robot Navigation* 2、Extended RRT algorithm with dynamic N-dimensional cuboid domains3、Replanning with RRTs
原理相比于最原始的 RRT 算法的一些缺點(diǎn)，提出的一種改進(jìn)的 RRT 算法 為了加快隨機(jī)樹到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的速度，簡(jiǎn)單的改進(jìn)方法是：在隨機(jī)樹每次的生長過程中，根據(jù)隨機(jī)概率（0.0 到 1.0 的隨機(jī)值 p）來選擇生長方向是目標(biāo)點(diǎn)還是隨機(jī)點(diǎn)。2001 年，LaValle在采樣策略方面引入 RRT GoalBias 與 RRT GoalZoom，RRT GoalBias 方法中，規(guī)劃器隨機(jī)采樣的同時(shí),以一定概率向最終目標(biāo)運(yùn)動(dòng)；RRTGoalZoom 方法中，規(guī)劃器分別在整個(gè)空間和目標(biāo)點(diǎn)周圍的空間進(jìn)行采樣。 和普通RRT的區(qū)別僅在于隨機(jī)撒點(diǎn)的時(shí)候有區(qū)別，這個(gè)p越大，算法越快，但對(duì)于復(fù)雜地形，可能會(huì)陷入局部極小處，反而變慢。一般取p=0.1程序示例參考Rapidly-Exploring Random Trees: A New Tool for Path Planning
2.1 原理雙樹RRT是在原本RRT的基礎(chǔ)上多加了?顆隨機(jī)探索樹，各自從起點(diǎn)和終點(diǎn)向外探索拓展，直到兩棵樹相遇時(shí)規(guī)劃算法收斂。這種改進(jìn)過的探索策略可以??提?RRT的運(yùn)?效率。 雙樹RRT中存在兩顆隨機(jī)樹，我們將其命名為A和B，A以起點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)，B以終點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)。兩顆隨機(jī)樹的拓展方式和單樹RRT的別無二致，同樣都需要經(jīng)歷隨機(jī)采樣+步?限制+碰撞檢測(cè)這三個(gè)步驟，但是不同的地?在于雙樹RRT的隨機(jī)樹是交替生長的，??說第?輪迭代中A樹向外??，第?輪便切換為B樹??，如此循環(huán)。 在每輪迭代中，隨機(jī)樹除了向外拓展之外，還會(huì)多出?個(gè)步驟，就是遍歷另一顆隨機(jī)樹中的所有節(jié)點(diǎn)，找出離NewNode最近的節(jié)點(diǎn)，用于判斷兩顆隨機(jī)樹是否相遇。 假設(shè)算法經(jīng)歷了N次迭代以后，已經(jīng)拓展出如下圖所示的兩顆隨機(jī)樹。并且在下?輪迭代中，輪到A樹進(jìn)?拓展，A樹在圖中?綠?線條表示，B樹?黃色線條表示。當(dāng)進(jìn)?本輪迭代后，算法成功拓展出A樹的新節(jié)點(diǎn)NewNode_A，此時(shí)算法將遍歷B樹中的所有節(jié)點(diǎn)，找出B樹中離NewNode_A最近的節(jié)點(diǎn)ClosestNode_B。并判斷?者是否滿?步?限制以及是否可以通過步?檢測(cè)。如下圖所示，這種情況明顯?法通過碰撞檢測(cè)。那么A樹和B樹在這?輪迭代中?法相遇，需要接著下?輪迭代。進(jìn)?下?輪迭代，這次便切換為B樹進(jìn)?拓展，假設(shè)算法拓展出的NewNode_B以及遍歷A樹后得到的ClosestNode_A如下圖所示，經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)?者滿?步?限制并且通過了碰撞檢測(cè)，那么這時(shí)A樹和B樹就成功得相遇了，規(guī)劃算法收斂當(dāng)算法收斂以后，只需在兩棵樹的相遇處分別沿著?節(jié)點(diǎn)回溯便可以找出從起點(diǎn)到終點(diǎn)的有效路徑。注意：雙向RRT和RRT的區(qū)別不僅僅是在于雙向生長，雙向RRT比RRT更“貪心”，相比于RRT在生長RRT樹的時(shí)候，是每產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，如果能通過碰撞檢測(cè)，就往該隨機(jī)點(diǎn)的方向生長一次，然后該隨機(jī)點(diǎn)就被廢棄了，下一步想繼續(xù)生長RRT樹的話，就只能繼續(xù)生成新的隨機(jī)點(diǎn)，每個(gè)隨機(jī)點(diǎn)最多利用一次。而雙向RRT在生長RRT樹時(shí)，先先生成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，然后，該樹往該隨機(jī)點(diǎn)的方向生長，直到碰到障礙物或則生長到該隨機(jī)點(diǎn)，這樣，一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)就被多次利用，加快了速度。2.2 偽碼2.3 程序示例2.4 收斂性分析雙向RRT的收斂性分析可以應(yīng)用RRT的收斂性分析2.5 參考1、RRT-Connect: An Efficient Approach to Single-Query Path Planning2、https://www.guyuehome.com/9405
1.1 RRT算法思路我們有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)綠色的起點(diǎn)，一個(gè)黃色的終點(diǎn)對(duì)于RRT，我們做的第一件事就是將起點(diǎn)設(shè)置為隨機(jī)樹的根，那么我們就擁有了一顆只有根節(jié)點(diǎn)的樹這棵樹光禿禿的，只有根節(jié)點(diǎn)的話不但難看，而且還沒用。那么我們這時(shí)候就需要從這個(gè)根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，向外拓展出新的葉?。拓展的方式很簡(jiǎn)單，就是隨機(jī)采樣+步?限制+碰撞檢測(cè)。 RRT在每輪迭代中會(huì)?成?個(gè)隨機(jī)采樣點(diǎn)NewNode，如果NewNode位于自由區(qū)域，那么我們就可以遍歷隨機(jī)樹中已有的全部節(jié)點(diǎn)，找出距離NewNode最近的節(jié)點(diǎn)ClosestNode。利?距離函數(shù)dist(NewNode, ClosestNode)得到二者之間的距離，如果滿足步長限制的話，我們將接著對(duì)這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)?碰撞檢測(cè)，如果不滿足步長限制的話，我們需要沿著NewNode和ClosestNode的連線?向，找出?個(gè)符合步長限制的中間點(diǎn)，用來替代NewNode。最后如果NewNode和ClosestNode通過了碰撞檢測(cè)，就意味著二者之間存在邊（edge），我們便可以將NewNode添加進(jìn)隨機(jī)樹中。首先以第一輪迭代為例，因?yàn)閯傞_始我們的隨機(jī)樹中只有根節(jié)點(diǎn)，所以?論NewNode位于何處，遍歷出的最近節(jié)點(diǎn)ClosestNode必然是根節(jié)點(diǎn)。 假設(shè)我們遇到下圖這種情況，雖然采樣點(diǎn)NewNode位于步?限制之內(nèi)，但是卻很不巧沒有落在自由區(qū)域，即采樣點(diǎn)落在障礙物的位置時(shí)，這個(gè)采樣點(diǎn)會(huì)被算法舍棄。假設(shè)我們的步?限制為R，也就是說對(duì)于每個(gè)ClosestNode節(jié)點(diǎn)來說，只有當(dāng)NewNode落在其半徑為R的圓的范圍內(nèi)時(shí)，這個(gè)隨機(jī)采樣點(diǎn)NewNode才有可能被直接采納。如下圖所示，該紅?隨機(jī)采樣點(diǎn)雖然位于?由區(qū)域，但是明顯在根節(jié)點(diǎn)的步?限制之外。不過這個(gè)節(jié)點(diǎn)并不會(huì)被簡(jiǎn)單粗暴地舍棄。?是會(huì)沿著ClosestNode和NewNode的連線，找出符合步?限制的中間點(diǎn)，將這個(gè)中間點(diǎn)作為新的采樣點(diǎn)。如下圖所示，藍(lán)點(diǎn)就可以替代紅點(diǎn)作為新的采樣點(diǎn)。那么假設(shè)我們已經(jīng)通過第?輪迭代拓展出第?個(gè)葉?節(jié)點(diǎn)A，毫?疑問地A的?節(jié)點(diǎn)就是根節(jié)點(diǎn)，假設(shè)我們第?輪迭代的隨機(jī)采樣點(diǎn)NewNode為圖中的點(diǎn)B，B落在A的步?限制范圍內(nèi)，但是A，B之間由于障礙物的阻擋，?法通過碰撞檢測(cè)，于是B就會(huì)被算法舍棄。假設(shè)我們的隨機(jī)采樣點(diǎn)是下圖中的B’，明顯B’位于?由區(qū)域，滿?步?條件，并且可以通過與點(diǎn)A的碰撞檢測(cè)，那么我們就在B’和A之間添加?條邊，并且將A設(shè)置為B’的?節(jié)點(diǎn)。學(xué)過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的?伙伴?定知道，在樹結(jié)構(gòu)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有?個(gè)?節(jié)點(diǎn)，?節(jié)點(diǎn)可以擁有多個(gè)?節(jié)點(diǎn)。在經(jīng)歷了N輪迭代后，我們已經(jīng)獲得了?顆如下圖所示的隨機(jī)樹，這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)的隨機(jī)采樣點(diǎn)竟然幸運(yùn)地落在了終點(diǎn)的步?限制范圍內(nèi)，并且?者之間不存在障礙物。這時(shí)我們便可以認(rèn)為，該采樣點(diǎn)和終點(diǎn)之間存在?條邊，于是將該節(jié)點(diǎn)設(shè)為終點(diǎn)的?節(jié)點(diǎn)，并把終點(diǎn)添加進(jìn)隨機(jī)樹。此時(shí)算法就可以結(jié)束迭代了，即規(guī)劃算法收斂。當(dāng)規(guī)劃算法收斂以后，只需要從終點(diǎn)開始，沿著其?節(jié)點(diǎn)進(jìn)?回溯，就可以找 到起點(diǎn)-終點(diǎn)之間的有效路徑。那么總結(jié)?下，RRT?成的每輪迭代中都包含以下這些流程：1. ?成?個(gè)隨機(jī)采樣點(diǎn)NewNode，并判斷采樣點(diǎn)是否位于?由區(qū)域2. 遍歷隨機(jī)樹，找出距離NewNode最近的節(jié)點(diǎn)ClosestNode3. 判斷NewNode是否在ClosestNode的步?限制范圍內(nèi)，否則尋找中間點(diǎn)替代NewNode4. 判斷NewNode和ClosestNode之間是否存在障礙物，即碰撞檢測(cè)。5. 如果NewNode滿?以上所有約束條件，則將NewNode添加進(jìn)隨機(jī)樹，設(shè)置ClosestNode為NewNode的?節(jié)點(diǎn)。6. 判斷NewNode是否在終點(diǎn)的步?限制范圍內(nèi)，并對(duì)其?者做碰撞檢測(cè)。如果滿?條件則將該NewNode設(shè)為終點(diǎn)的?節(jié)點(diǎn)，并將終點(diǎn)加?隨機(jī)樹，即可結(jié)束迭代。否則繼續(xù)迭代。1.2 偽碼1.3 RRT的收斂性分析本節(jié)主要介紹了該規(guī)劃?法的理論特性。Theorem 1 如果存在長度為k的連接序列，則將 x_init 連接到 x_goal 所預(yù)期的迭代次數(shù)不超過k/p Pf. 參考S.M. Lavalle and J.J. Kuffffner. "Randomized Kinodynamic Planning." The International Journal of Robotics Research. Vol. 20, Number 5, 2001, pp. 378 – 400. 第392頁Theorem 2 Pf. 參考S.M. Lavalle and J.J. Kuffffner. "Randomized Kinodynamic Planning." The International Journal of Robotics Research. Vol. 20, Number 5, 2001, pp. 378 – 400. 第393頁Theorem 3 當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)趨于無窮時(shí)，在 x_init 處初始化的RRT包含 x_goal 的概率將趨近于1 Pf. 參考S.M. Lavalle and J.J. Kuffffner. "Randomized Kinodynamic Planning." The International Journal of Robotics Research. Vol. 20, Number 5, 2001, pp. 378 – 400. 第394頁定理1和定理2表示了規(guī)劃器的收斂率，定理3建?了規(guī)劃器是概率完備的（即，當(dāng)?shù)鷶?shù)趨于?窮時(shí)，找到解的概率趨于1我們可以看出，由于算法在未達(dá)到收斂條件之前是在不斷進(jìn)?迭代的，所以只要在規(guī)劃的起點(diǎn)和終點(diǎn)之間是存在有效的路徑，那么只要迭代的次數(shù)夠多，那么采樣點(diǎn)就夠多，隨機(jī)樹就長得越茂密，能探索到的區(qū)域就?夠?，就必然可以找到有效的路徑。所以RRT是概率完備的。但是由于采樣點(diǎn)每次都是隨機(jī)的，所以算法并不能保證找到的路徑是最優(yōu)的路徑。因此RRT是?最優(yōu)的。1.4 程序示例1.5 參考1、S.M. Lavalle and J.J. Kuffffner. "Randomized Kinodynamic Planning." The International Journal of Robotics Research. Vol. 20, Number 5, 2001, pp. 378 – 400.2、Rapidly-Exploring Random Trees: A New Tool for Path Planning3、https://www.guyuehome.com/9405
什么是路徑規(guī)劃？ 路徑規(guī)劃（也叫運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)劃），任務(wù)是確定控制輸入，以驅(qū)動(dòng)機(jī)器人從初始配置和速度到目標(biāo)配置和速度，同時(shí)服從基于物理的動(dòng)力學(xué)模型，且能確保機(jī)器人在環(huán)境中避開障礙。說白了，就是給你一張地圖，且已知障礙物分布，以及起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)，希望你根據(jù)這些信息，找到一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)的能繞開障礙物的有效路徑，如果可以，還希望這條有效路徑盡可能最優(yōu)（最短），并且希望找到這條有效路徑的時(shí)間盡可能短（算法足夠高效） 目前流行的路徑規(guī)劃分為兩大類：基于采樣的路徑規(guī)劃和基于搜索的路徑規(guī)劃。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的狀態(tài)空間是應(yīng)用于機(jī)器人變換的集合，稱為位姿空間（configuration space），引入了 C-空間、C-空間障礙物、自由空間等一系列概念，下面介紹一些概念：位姿（configuration）機(jī)器人一個(gè)位姿指的是一組相互獨(dú)立的參數(shù)集，它能完全確定機(jī)器人上所有的點(diǎn)在工作空間 W 中的位置，這些參數(shù)用來完整描述機(jī)器人在工作空間 W 中的狀態(tài)。一個(gè)位姿通常表示為帶有位置和方向參數(shù)的一個(gè)向量(vector)，用 q 表示。自由度（degrees of freedom）機(jī)器人的自由度定義為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中決定其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的所有獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目，即 q 的維數(shù)。位姿空間（configuration space）位姿空間是機(jī)器人所有可能位姿組成的集合，代表了機(jī)器人所有可能的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，稱為 C-空間，也可簡(jiǎn)記為 C。距離函數(shù)（distance function）C-空間中的距離函數(shù)定義為該空間中的一個(gè)映射
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